Hướng dẫn giải bài tổ hợp trong Đề kiểm tra đội tuyển lần I, trường THCS Nam Từ Liêm – Hà Nội, năm học 2025 – 2026

Đánh giá bài giảng
Số lần xem 107

Bài toán: Trong một bảng ô vuông kích thước 100×100 ta điền vào mỗi ô một dấu (+). Ta tiến hành biến đổi như sau: mỗi lần đổi ta đổi dấu tất cả các ô trong cùng một hàng hoặc trong cùng một cột nghĩa là đổi dấu (+) thành (–) và ngược lại. Hỏi sau một số hữu hạn bước biến đổi như trên, trên bảng có đúng 2026 dấu (–) hay không? Vì sao?

Lời giải:

Giả sử tại thời điểm nào đó trên bảng có đúng 2026 dấu (–) và trải qua một quá trình biến đổi trên bảng ô vuông với:

x là số cột được biến đổi một số chẵn lần (x∈ N,0 ≤ x ≤ 100)

y là số hàng được biến đổi một số chẵn lần (y∈ N,0 ≤ y ≤ 100)

Khi đó: 100 – x và 100 – y lần lượt là số cột và số hàng được biến đổi một số lẻ lần.

Ta thấy rằng để chuyển dấu (+) thành (–) thì nó phải được biến đổi một số lẻ lần nghĩa là ô chứa dấu (–) sẽ là giao của các cột được biến đổi một số chẵn lần với các hàng được biến đổi một số lẻ lần và các cột được biến đổi một số lẻ lần với các hàng được biến đổi một số chẵn lần.

Suy ra:

x(100 – y) + y(100 – x) = 2026

(50 – x)(50 – y) = 1487 (*)

Để ý rằng 1487 là số nguyên tố ⇒ |50 - x| = 1487 hoặc |50 - y| = 1487.

Nhưng do 0 ≤ x,y ≤ 100 ⇒ |50 - x|, |50 - y| ≤ 50 nghĩa là phương trình nghiệm nguyên (*) không có nghiệm.

Như vậy giả sử ban đầu là sai, đồng nghĩa với sau một số hữu hạn bước biến đổi như trên, trên bảng không thể có 2026 dấu (–).

Nguyễn Kim Sổ

Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Hướng dẫn giải bài tổ hợp trong Đề kiểm tra đội tuyển lần I, trường THCS Nam Từ Liêm – Hà Nội, năm học 2025 – 2026 Bài toán: Trong một bảng ô vuông kích thước 100×100 ta điền vào mỗi ô một dấu (+). Ta tiến hành biến đổi như sau: mỗi lần đổi ta đổi dấu tất cả các ô... 107 Lượt xem
Ước nguyên tố của một dãy nguyên (Sưu tầm) Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số... 548 Lượt xem
Các dạng toán về đa thức trong đề thi học sinh giỏi toán Trung học cơ sở Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học... 2.936 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7 Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -... 3.597 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp... 6.875 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 13.287 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 13.125 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình... 13.175 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình... 13.475 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1 Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ... 13.141 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm... 13.203 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải.... 12.815 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối... 13.357 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc... 13.226 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải.... 13.270 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7 Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các... 13.200 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội... 13.260 Lượt xem

Hướng dẫn giải bài tổ hợp trong Đề kiểm tra đội tuyển lần I, trường THCS Nam Từ Liêm – Hà Nội, năm học 2025 – 2026
Bài toán: Trong một bảng ô vuông kích thước 100×100 ta điền vào mỗi ô một dấu (+). Ta tiến hành biến đổi như sau: mỗi lần đổi ta đổi dấu tất cả các ô...
107 Lượt xem

Ước nguyên tố của một dãy nguyên
(Sưu tầm) Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số...
548 Lượt xem

Các dạng toán về đa thức trong đề thi học sinh giỏi toán Trung học cơ sở
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
2.936 Lượt xem

Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
3.597 Lượt xem

Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
6.875 Lượt xem

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
13.287 Lượt xem

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
13.125 Lượt xem

Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
13.175 Lượt xem

Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
13.475 Lượt xem

Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
13.141 Lượt xem

Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
13.203 Lượt xem

Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.815 Lượt xem

Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
13.357 Lượt xem

Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
13.226 Lượt xem

Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
13.270 Lượt xem

Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
13.200 Lượt xem

Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
13.260 Lượt xem