Bài toán này cũng tương tự như bài trên, cũng bằng cách phân chia như vậy ta thu được tổng 4 + (9 – 1).2 = 20 tam giác.
Ký hiệu diện tích các tam giác lần lượt là S1, S2, …, S20 vì số tam giác là hữu hạn nên tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đặt đó là S, để ý rằng diện tích hình chữ nhật ban đầu là 20cm2 nên ta được:
20 = S1 + S2 + … + S20 ≥ 20S ⇒ S ≤ 1. Bài toán được chứng minh.
Chia hình vuông thành 25 hình vuông con. Mỗi hình vuông con có cạnh là: 14:5 = 2,8 cm
Vì cả 76 điểm đều nằm trong 25 hình vuông nhỏ nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại một hình vuông con chứa ít nhất [(76 + 25 - 1)/25] = 4 điểm trong 76 điểm đã cho, mà theo (*) mỗi hình vuông nhỏ lại nằm hoàn toàn trong đường tròn bán kính 2 cm nên sẽ tồn tại 1 đường tròn bán kính 2 cm chứa ít nhất 4 điểm nói trên. Bài toán được chứng minh.
Chia hình vuông đã cho thành 452 hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗi hình vuông có độ dài cạnh là 1/45. Vì 452 = 2025 > 2019 nên tồn tại ít nhất một hình vuông không chứa điểm nào trong số 2019 điểm đã cho.
Đường tròn (I) nội tiếp hình vuông này có bán kính 1/90 cũng sẽ không chứa bất kỳ điểm nào trong số 2019 điểm đã cho. Do 1/90 > 1/91 nên đường tròn đồng tậm với (I) bán kính 1/91 cũng sẽ không chứa bất kỳ điểm nào trong số 2019 điểm đã cho. Bài toán được chứng minh.
Bài toán 5. Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có 2 đường tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD cạnh là a > 2 chứa 5 hình tròn bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn nào trong chúng có điểm trong chung. Suy ra tâm của các hình tròn này nằm trong hình vuông A’B’C’D’ tâm O cạnh là (a - 2).
Các đường trung bình của hình vuông A’B’C’D’ chia hình vuông này thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau. Theo nguyên lí Dirichle tồn tại một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 2 trong 5 tâm của các hình tròn nói trên, chẳng hạn đó là O’ và O’’. Do 5 hình tròn này không có hai hình tròn nào có điểm trong chung nên O’O’’ ≥ 2 (1)
Mặt khác O’O’’ cùng nằm trong một hình vuông nhỏ có cạnh là (a-2)/2 nên độ dài của nó không thể vượt quá độ dài đường chéo của hình vuông. Hay O’O’’ ≤ (a-2)/2 √2.
Kết hợp với (1) ta được (a-2)/2 √2 ≥ 2 ⇒ a ≥ 2 + 2√2
Bây giờ xét hình vuông ABCD có cạnh 2 + 2√2, khi đó các hình vuông bán kính 1 và tâm lại A’, B’, C’, D’, O thỏa mãn tất cả các điều kiện bài ra.
Vậy hình vuông kích thước nhỏ nhất có cạnh 2 + 2√2 thỏa mãn yêu cầu bài ra.
Bài toán 6. Người ta làm một cái hộp hình vuông để đựng được 5 cái bánh hình tròn có đường kính 6cm sao cho không có bất kì hai cái bánh nào được chồng lên nhau.
Hãy tính cạnh nhỏ nhất của cái hộp.
Hướng dẫn: Tương tự bài toán 4.
Bài toán 7. Cho n điểm trong mặt phẳng sao cho ko có 3 điểm nào thẳng hàng và 3 điểm bất kỳ tạo thành 1 tam giác có diện tích ≤ 1. CMR n điểm đã cho thuộc 1 tam giác có diện tích không vượt quá 4.
Hướng dẫn:
Vì n cố định nên tồn tại một số hữu hạn các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ n điểm đã cho. Theo nguyên lý cực hạn thì trong số các tam giác đó luôn tồn tại một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giả sử đó là tam giác ABC với diện tích là S. Khi đó S ≤ 1.
Từ các đỉnh A, B, C ta vẽ các đường thẳng song song BC, CA, AB. Các đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam giác DEF.
Dễ thấy A, B, C lần lượt là trung điểm của EF, FD và DE. Do đó S(DEF) = 4S(ABC) = 4. Với mỗi điểm G còn lại trong số n – 3 điểm đã cho thì nó không thể nằm ngoài tam giác DEF vì nếu như vậy thì như hình vẽ trên ta thấy S(GBC) > S(ABC) hoặc S(G’BC > S(ABC)(mâu thuẫn với diện tích tam giác ABC lớn nhất). Nói tóm lại n điểm đã cho thuộc 1 tam giác có diện tích không vượt quá 4.
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 8. Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho trong 3 điểm bất kì nào cũng tồn tại 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. CMR tồn tại một hình tròn có bán kính 1 chứa ít nhất 1005 điểm trong 2009 điểm đã cho.
Hướng dẫn:
Ta xét một điểm A bất kì trong số 2009 điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 1 đơn vị. Nếu 2008 điểm còn lại nằm bên trong (A; 1) thì bài toán được chứng minh.
Nếu không như vậy, sẽ tồn tại chẳng hạn điểm B nằm ngoài (A; 1), khi đó AB > 1.
Ta vẽ đường tròn tâm B, bán kính 1 đơn vị. Xét điểm C bất kì trong số 2007 điểm còn lại, rõ ràng C phải nằm trong 1 trong 2 đường tròn vừa vẽ vì nếu không thì với 3 điểm A, B, C ta có AB > 1, BC > 1 và CA > 1(mâu thuẫn)
Như thế 2009 điểm đã cho sẽ được phân bố bên trong 2 đường tròn (A; 1) và (B; 1). Theo nguyên tắc Dirichlet, phải tồn tại một đường tròn chứa ít nhất [(2009 + 2 - 1)/2] = 1005 điểm. Bài toán được chứng minh!
Bài toán 9. Trên cùng 1 mặt phẳng cho 4037 điểm. Biết rằng 3 điểm bất kì trong 4037 điểm trên luôn chọn được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. CMR trong các điểm nói trên có ít nhất 2019 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1.
Tổng quát bài toán: Trên cùng 1 mặt phẳng cho 2n + 1 điểm. Biết rằng 3 điểm bất kì trong 2n + 1 điểm trên luôn chọn được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. CMR trong các điểm nói trên có ít nhất n + 1 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1.
Bài toán 10. Trên một đường tròn bán kính 5cm lấy 10 điểm bất kì. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai trong 10 điểm đó cách nhau một khoảng nhỏ hơn 3,5 cm.
Hướng dẫn:
Ta xét (O; 5cm), trên đó lấy 10 điểm A1, A2,…, A10 như hình vẽ.
Đặt chu vi hình tròn là C, khi đó C = 2π.R = 10 π.
Giả sử tất cả các điểm đã cho đều có khoảng cách > 3.5cm, khi đó chu vi đa giác A1A2…A10 = A1A2 + A2A3 +… + A9A10 + A10A1 > 10.3.5 = 35cm.
Nhưng A1A2 + A2A3 +… + A9A10 + A10A1 < C hay 35 < 10π. Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử phản chứng là sai. Bài toán được chứng minh.
Bài toán 11. Cho một hình vuông và 9 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2/3. Chứng minh rằng trong 9 đường thẳng đó, có ít nhất ba đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn:
Ta xét một hình vuông ABCD cạnh a như hình vẽ, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. E, F, G, H là các điểm nằm trên MP và QN sao cho QE = NG = 2/5QN, MF = PH = 2/5 MP.
Giả sử d là 1 đường thẳng bất kỳ chia cắt hình vuông ABCD thành 2 hình có diện tích tỉ lệ 2/3 chẳng hạn S(ASDT)/ S(SBCT) = 2/3.
Đặt E’ là giao điểm của ST và QN. Khi đó S(ASDT) = QE’.a, S(SBCT) = NE’.a
⇒ QE’/NE’ = 2/3 ⇒ QE’/(QE’ + NE’) = 2/5 hay QE’ = 2/5QN ⇒ E≡ E’ nghĩa là d đi qua E.
Nói tóm lại, 9 đường thẳng đã cho chỉ có thể đi qua 4 điểm E, F, G, H. Theo nguyên tắc Dirichlet thì phải có [(9 + 4 - 1)/4] = 3 điểm cùng đi qua một điểm.
Bài toán được chứng minh.
Lưu ý: Bài toán cũng đúng với hình chữ nhật.
Bài toán 12. Mỗi điểm trên mặt phẳng đều được tô bởi một trong ba màu : xanh , đỏ , vàng Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng một độ dài cho trước tùy ý.
Hướng dẫn:
Gọi độ dài cho trước là a.
Giả sử không thể có 2 điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng a. (*)
Xét một điểm A bất kì có màu đỏ. Dựng tam giác ABC đều có cạnh là a. Khi đó B, C không thể màu đỏ. Không mất tính tổng quát ta giả sử tô B màu xanh, tô C màu vàng.
Lấy D đối xứng với A qua BC. Tam giác BCD đều có cạnh là x. Theo (*) thì D sẽ tô màu đỏ.
Vẽ đường tròn (A; a√3), dễ thấy mọi điểm trên đường tròn này đều được tô màu đỏ, có nghĩa là không khó để tìm ra 2 điểm E, F mà EF = a. Mâu thuẫn.
Vậy điều giả sử phản chứng là sai. Bài toán được chứng minh.
Bài toán 13. Cho 37 điểm, trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng nằm ở bên trong một hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm đc 5 điểm trong 37 điểm đã thỏa mãn : các tam giác tạo bởi 3 điểm bất kỳ trong 5 điểm đó có diện tích không quá 1/18.
Hướng dẫn:
Bổ đề: Diện tích tam giác nằm bên trong trong hình bình hành (tam giác có 3 đỉnh nằm bên trong hoặc trên các cạnh của hình bình hành) không lớn hơn nửa diện tích của hình bình đó.
Chứng minh:
Với tam giác MNP nằm bên trong trong hình bình hành ABCD ta đều có thể vẽ được bao ngoài bởi tam giác RST như hình vẽ trên. Trong đó R, S, T là các đỉnh nằm trên cạnh của hình bình hành ABCD.
Kẻ SE //AD cắt TR tại F(như hình vẽ). Khi đó S(TSF) ≤ S(TSE) ≤ 1/2 S(ADSE), S(RSF) ≤ S(RSE) ≤ 1/2 S(CSEB)
Suy ra S(MNP) ≤ S(RST) = S(TSF) + S(RSF) ≤ 1/2 S(ADSE) + 1/2 S(CSEB) = 1/2 S(ABCD).
Bổ đề được chứng minh!
Trở lại bài toán, chia hình vuông đã cho thành 9 hình vuông nhỏ cạnh 1/3. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại [(37 + 9 - 1)/9] = 5 điểm cùng thuộc 1 hình vuông nhỏ. Chẳng hạn hình vuông MNPQ. Gọi A, B, C là 3 điểm bất kỳ trong 5 điểm này.
Dễ thấy S(ABC) ≤ 1/2 S(MNPQ) = 1/2.1/3 . 1/3 = 1/18. Bài toán được chứng minh.